計算機科学のブログ

関数(とその他の数学とコンピュータに関する予備知識) 関数 可逆関数の合成関数についての可逆性

行列プログラマー (Philip N. Klein(著)、松田 晃一(翻訳)、弓林 司(翻訳)、脇本 佑紀(翻訳)、中田 洋(翻訳)、齋藤 大吾(翻訳)、オライリー・ジャパン)の0章(関数(とその他の数学とコンピュータに関する予備知識))、0.3(関数)、0.3.8(可逆関数の合成関数についての可逆性)の問題0.3.21の解答を求めてみる。

可逆な関数f、 gの定義域、終域をAとする。

aをAの任意の元とすると、

( ( g - 1 ∘ f - 1 ) ∘ ( f ∘ g ) ) ( a ) = ( g - 1 ∘ ( f - 1 ∘ f ) ∘ g ) ( a ) = ( g - 1 ∘ g ) ( a ) = a

また、

( ( f ∘ g ) ∘ ( g - 1 ∘ f - 1 ) ) ( a ) = ( f ∘ ( g ∘ g - 1 ) ∘ f - 1 ) ( a ) = ( f ∘ f - 1 ) ( a ) = a

よって、

( g - 1 ∘ f - 1 ) ∘ ( f ∘ g ) ( f ∘ g ) ∘ ( g - 1 ∘ f - 1 )

は共に恒等写像なので、

f ∘ g

は可逆でその逆写像は

( f ∘ g ) - 1 = g - 1 ∘ f - 1

である。

（証明終）