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帰納的定義と証明技法 数学的帰納法Ⅱ 初期段階、累乗、階乗、不等式

情報系のための離散数学 (猪股 俊光 (著)、南野 謙一 (著)、共立出版)の第3章(帰納的定義と証明技法)、3.1(数学的帰納法)、3.1.3(数学的帰納法Ⅱ)の問3.2の解答を求めてみる。

3 7 = 2187

また、

7 ! = 5040

よって、

3 7 < 7 !

が成り立つ。

n > 8 3 n = 3 · 3 n - 1 < 3 · ( n - 1 ) ! < n ( n - 1 ) ! = n !

よって帰納法により、

n ∈ ℕ , n > 7 3 n < n !

である。

（証明終）

コード(Wolfram Language)

Plot[{3^n, Factorial[n]}, {n, 5, 7},
     PlotLegends -> "Expressions"]
Output