帰納的定義と証明技法数学的帰納法I 自然数、平方、級数

学習環境

情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第3章(帰納的定義と証明技法)、3.1(数学的帰納法)、3.1.2(数学的帰納法I)の問3.1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \sum_{k = 0}^{n} k^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} + n^{2} \\ = \frac{1}{6} (n - 1) n (2 (n - 1) + 1) + n^{2} \\ = \frac{1}{6} n (n - 1) (2 n - 1) + n^{2} \\ = \frac{1}{6} n ((n - 1) (2 n - 1) + 6 n) \\ = \frac{1}{6} n (2 n^{2} + 3 n + 1) \\ = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}

よって帰納法によりすべての自然.数に対して成り立つ。