帰納的定義と証明技法構造帰納法構造帰納法実数、四則演算、左右の括弧の数、初期段階、帰納段階

学習環境

情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第3章(帰納的定義と証明技法)、3.2(構造帰納法)、3.2.2(構造帰納法)の問3.6の解答を求めてみる。

初期段階。

実数の場合は括弧の数は0である。

帰納段階。

任意の

p, q \in A_{\exp}

に対して、 pの左右の括弧の数、 qの左辺の括弧の数が同じであると仮定する。

p、 g の左右の括弧の数をそれぞれ

\begin{array}{l} p_{l}, p_{r}, q_{l}, q_{r} \\ p_{l} = p_{r}, q_{l} = q_{r} \end{array}

とおくと、

(p + q), (p - q), (p \times q), (\frac{p}{q})

のいずれも左右の括弧の数はそれぞれ

\begin{array}{l} p_{l} + q_{l} + 1 \\ p_{r} + q_{r} + 1 \end{array}

となり、

p_{l} + q_{l} + 1 = p_{r} + q_{r} + 1

なので、左右の括弧の数は同じである。