帰納的定義と証明技法正の自然数、3で割り切れることの証明、帰納法

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情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第3章(帰納的定義と証明技法)、章末問題の問3.2の解答を求めてみる。

1^{3} + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3

また、

\begin{array}{l} {(n + 1)}^{3} + 2 (n + 1) \\ = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 + 2 n + 2 \\ = n^{3} + 2 n + 3 (n^{2} + n + 1) \end{array}

よって、帰納法により、任意の正の自然数に対して、

n^{3} + 2 n

は3で割り切れる。