帰納的定義と証明技法背理法 2の平方根が無理数であることの証明、有理数、既約

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情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第3章(帰納的定義と証明技法)、3.5(背理法)の問3.12の解答を求めてみる。

\sqrt{2}

が有理数であると仮定する。

既約分数で表す。

\sqrt{2} = \frac{m}{n}

このとき、

n \sqrt{2} = m

両辺の平方と考える。

2 n^{2} = m^{2}

よって、

m^{2}

は偶数である。

ゆえに、mは2の倍数である。

また、mは非零なので、 mの平方は4の倍数である。

よって、 nの平方は2の倍数である。

ゆえにnも2の倍数である。

またnは非零である。

よって、 mとnは共に0ではない偶数である。

これは、仮定の既約であることと矛盾。

ゆえに2の平方根は無理数である。

（証明終）