計算機科学のブログ

複素数 実部、絶対値、不等式、オイラーの公式、三角関数、正弦と余弦、共役複素数、フーリエ級数、フーリエ係数、矩形波

信号・データ処理のための行列とベクトル- 複素数,線形代数,統計学の基礎 - (次世代信号情報処理シリーズ 1) (田中 聡久(著)、コロナ社)の第1章(複素数)の章末問題の解答を求めてみる。

1

a , b ∈ ℝ z = a + b i

とおけば、

| z | = z z - = a 2 + b 2 ≥ a 2 = | a | ≥ a = Re ( z )

2

e i θ = cos θ + i sin θ e - i θ = cos ( - θ ) + i sin ( - θ ) = cos θ - i sin θ

よって、

e i θ + e - i θ = 2 cos θ cos θ = e i θ + e - i θ 2 e i θ - e - i θ = 2 i sin θ sin θ = e i θ - e - i θ 2 i

3

x ( t ) = x ( t ) - ∑ k = - ∞ ∞ c k e i 2 π k T t = ∑ k = - ∞ ∞ c - k e - i 2 π k T t ∑ k = - 0 N c k e i π k T t = ∑ k = - ∞ ∞ c - - k e i 2 π k T t

よって

c k = c - - k c - k = c k -

4

c k = 1 T ∫ 0 T x ( t ) e - i 2 π k T t dt = 1 T ( ∫ 0 T 2 e - i 2 π k T t dt + ∫ T 2 T 0 · e - i 2 π k T t dt ) = 1 T 1 - i 2 π k T [ e - i 2 π k T t ] 0 T 2 = - 1 i 2 π k ( e - i π k - 1 ) = 1 π k 1 - e - i π k 2 i = e - i π 2 k π k e i π 2 k - e - i π 2 k 2 i = e - i π 2 k π k sin π 2 k = 1 2 sin π 2 k π 2 k e - i π 2 k

よって、

x ( t ) = 1 2 ∑ k = - ∞ ∞ sin π 2 k π 2 k e i π k ( 2 T t - 1 2 )

コード(Wolfram Language)

t0 = 2 Pi
Output
x[t_, n_] := 1/2 Sum[Sin[Pi k / 2] / (Pi k / 2) Exp[I Pi k(2 / t0 t - 1 / 2)], {k, -n, n, 2}]

Plot[Evaluate[Table[x[t, n], {n, 1, 9, 2}]], {t, 0, 4 Pi},
     PlotLegends -> Table[n, {n, 1, 9, 2}]]
Output