関数(とその他の数学とコンピュータに関する予備知識) 入門逆関数、可逆、逆写像、全単射、恒等写像

行列プログラマー (Philip N. Klein(著)、松田晃一(翻訳)、弓林司(翻訳)、脇本佑紀(翻訳)、中田洋(翻訳)、齋藤大吾(翻訳)、オライリー・ジャパン)の0章(関数(とその他の数学とコンピュータに関する予備知識))、0.8(問題)、逆関数の問題0.8.4、0.8.5の解答を求めてみる。

問題 0.8.4

可逆。

\begin{array}{l} U = {a, b, c, d} \\ V = {e, h, i, j} \\ f : U \to V \\ f (a) = e \\ f (b) = h \\ f (c) = i \\ f (d) = j \end{array}

で、 VからVへの写像 g を

\begin{array}{l} g : V \to U \\ g (e) = a \\ g (h) = b \\ g (i) = c \\ g (j) = d \end{array}

とおけば、

\begin{array}{l} g \circ f = I_{U} \\ f \circ g = I_{V} \end{array}

となりgはfの逆写像なので、問題の関数は可逆である。

問題0.8.5

可逆ではない。全射ではないから。

終域から値域に含まれない要素を削除すれば可逆となる。