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関数(とその他の数学とコンピュータに関する予備知識) 入門 関数の合成、定義域と終域、確率、確率分布、剰余

行列プログラマー (Philip N. Klein(著)、松田 晃一(翻訳)、弓林 司(翻訳)、脇本 佑紀(翻訳)、中田 洋(翻訳)、齋藤 大吾(翻訳)、オライリー・ジャパン)の0章(関数(とその他の数学とコンピュータに関する予備知識))、0.8(問題)、関数の合成の問題0.8.6、0.8.7、確率の問題0.8.8、0.8.9の解答を求めてみる。

関数の合成

問題 0.8.6

選び方はある。

具体的には、 定義域と終域を

g : [ 0 , ∞ ) → ℝ

とすれば、 任意の

x ∈ [ 0 , ∞ )

に対して、

g ( x ) = x ∈ ℝ

で、また、 任意の

x ∈ ℝ

に対して、

f ( ± x ) = | x | ∈ [ 0 , ∞ ]

問題0.8.7

問題の合成関数は定義され、具体的には

g ∘ f : { 1 , 2 , 3 } → { 21 , 22 , 23 } ( g ∘ f ) ( 1 ) = g ( f ( 1 ) ) = f ( 11 ) = 23 ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) = g ( 12 ) = 22 ( g ∘ f ) ( 3 ) = g ( f ( 3 ) ) = g ( 13 ) = 21

となる。

確率

問題0.8.8

終域に含まれる偶数は、

{ 2 , 4 , 6 }

また、

f ( 1 ) = 2 f ( 3 ) = 4 f ( 5 ) = 6

よって、偶数が得られる確率は、

Pr ( 1 ) + Pr ( 3 ) + Pr ( 5 ) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

奇数が得られる確率は、

1 - 0.9 = 0.3

問題0.8.9

g ( x ) = x m o d 3 = 1

となる定義域の元は、

{ 1 , 4 }

よって、出力として 1が得られる確率は、

Pr ( 1 ) + Pr ( 4 ) = 0.2 + 0.1 = 0.3

同様にして、0が得られる確率は、

Pr ( 3 ) + Pr ( 6 ) = 0.2 + 0.1 = 0.3

2が得られる確率は、

Pr ( 2 ) + Pr ( 5 ) + Pr ( 7 ) = 0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4