数え上げの基礎文字列、長さ、2項定理、2進数、桁数、偶パリティ

学習環境

情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第4章(数え上げの基礎)、章末問題の4.1、4.2、4.3の解答を求めてみる。

4.1

\begin{array}{l} 4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\ = 4 (1 + 3 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ = 4 \cdot 16 \\ = 64 \end{array}

個。

4.2

\begin{array}{l} 2^{n} \\ = {(1 + 1)}^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 1^{k} \cdot 1^{n - k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \end{array}

4.3

\begin{array}{l} \sum_{k . = 0}^{4} (\begin{matrix} 8 \\ 2 k \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix}) \\ = 2 (1 + (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix})) + (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) \\ = 2 (1 + \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1}) + \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2} \\ = 2 (1 + 28) + 70 \\ = 58 + 70 \\ = 128 \end{array}

通り。