数え上げの基礎 2項定理組合せ、クイズ、正解と不正解、パスカルの三角形の係数

学習環境

情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第4章(数え上げの基礎)、4.5(2項定理)の問4.6、4.7の解答を求めてみる。

問4.6

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{8!}{3! (8 - 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56

通り。

問4.7

\begin{array}{l} (\begin{matrix} n \\ r - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r + 1)!} + \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n! (r + n - r + 1)}{r! (n - r + 1)!} \\ = \frac{n! (n + 1)}{r! (n - r + 1)!} \\ = \frac{(n + 1)!}{r! ((n + 1) - r)!} \\ = (\begin{matrix} n + 1 \\ r \end{matrix}) \end{array}

\begin{array}{l} (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) = \frac{(n - 1)!}{(r - 1)! ((n - 1) - (r - 1))!} + \frac{(n - 1)!}{r! ((n - 1) - r)!} \\ = \frac{(n - 1)! (r + (n - r))}{r! (n - r)!} \\ = \frac{(n - 1)! n}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) \end{array}