計算機科学のブログ

関係反射律、対称律、推移律、式

本の表紙

情報系のための離散数学
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学習環境

情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第5章(関係)、章末問題、5.3の解答を求めてみる。

I_{A} \subset R

ならば、任意の

(x, y) \in R \cup I_{A}

について、

(x, y) \in I_{A}

ならば

x = y

よって、

(x, y) = (x, x) \in I_{A}

ゆえに

(x, y) \in R

よって、

R = R \cup I_{A}

逆に、

R = R \cup I_{A}

よって、

I_{A} \subset R

ゆえに、

I_{A} \subset R \Leftrightarrow R = R \cup I_{A}

R^{2} \subset R

ならば、

U_{i = 1}^{n} R^{i} \subset U_{i = 1}^{n - 1} R^{i}

よって帰納法により、

R = R^{+}

逆に、

R = R^{+}

ならば、

R = R^{+} \supset R^{2}

ゆえに、

R^{2} \subset R \Leftrightarrow R \Leftrightarrow R^{+}

R^{- 1} \subset R

ならば、

R \supset R \cup R^{- 1}

また、

R \subset R \cup R^{- 1}

よって、

R = R \cup R^{- 1}

逆に、

R = R \cup R^{- 1}

ならば、

R^{- 1} \subset R

よって、

R^{- 1} \subset R \Leftrightarrow R = R \cup R^{- 1}