計算機科学のブログ

関数の基礎 単射、和の像と像の和、包含関係

情報系のための離散数学 (猪股 俊光 (著)、南野 謙一 (著)、共立出版)の第6章(関数の基礎)、章末問題の6.3の解答を求めてみる。

y を

f ( X 1 ∩ X 2 )

の任意の元とする。

このとき、 ある

x ∈ X 1 ∩ X 2

が存在して、

f ( x ) = y

また、

x ∈ X 1 ∧ x ∈ X 2

なので、

y ∈ f ( X 1 ) ∧ y ∈ f ( X 2 )

よって、

y ∈ f ( X 1 ) ∩ f ( X 2 )

ゆえに、

f ( X 1 ∩ X 2 ) ⊂ f ( X 1 ) ∩ f ( X 2 )

y を

f ( X 1 ) ∩ f ( X 2 )

の任意の元とする。

このときある

x 1 ∈ X 1 , x 2 ∈ X 2

が存在して、

y = f ( x 1 ) = f ( x 2 )

問題の仮定よりfは単射なので、

x 1 = x 2

よって、

x 1 ∈ X 1 ∩ X 2

ゆえに、

y = f ( x 1 ) ∈ f ( X 1 ∩ X 2 )

なので、

f ( X 1 ) ∩ f ( X 2 ) ⊂ f ( X 1 ∩ X 2 )

以上より、

f ( X 1 ∩ X 2 ) = f ( X 1 ) ∩ f ( X 2 )

（証明終）