関数の基礎 逆関数が存在するための必要十分条件、全単射
情報系のための離散数学 (猪股 俊光 (著)、南野 謙一 (著)、共立出版)の第6章(関数の基礎)、章末問題の6.6の解答を求めてみる。
関数fの逆関数が存在する場合。
yをYの任意の元とする。
このとき、
よって、fは全射である。
a、 b をX の任意の元とする。
ならば、
よって、fは単射である。
ゆえに、fは全単射である。
逆に、 fが全単射の場合。
任意のY の元Yに対して、 ただ1つのXの元✗が存在する。
よって、 関数
と定めることができる。
この関数gについて、
よって、gはfの逆写像である。
ゆえに、 関数fの逆関数が存在するための必要十分条件は、 fが全単射であることである。
（証明終）