関数の基礎関数の合成定義域と終域、値域、包含関係、単射の合成関数

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情報系のための離散数学 (猪股俊光 (著)、南野謙一 (著)、共立出版)の第6章(関数の基礎)、6.3(関数の合成)、問6.8、問6.9の解答を求めてみる。

問6.8

\begin{array}{l} i d_{ℕ} \circ s q r : ℤ \to ℕ \\ (i d_{ℕ} \circ s q r) (n) \\ = i d_{ℕ} (s q r (n)) \\ = i d_{ℕ} (n^{2}) \\ = n^{2} \end{array}

\begin{array}{l} s q r \circ i d_{ℕ} : ℕ \to ℕ \\ (s q r \circ i d_{ℕ}) (n) \\ = s q r (n) \\ = n^{2} \end{array}

\begin{array}{l} s q r \circ p l u s : ℤ \times ℤ \to ℕ \\ (s q r \circ p l u s) (m, n) \\ = s q r (p l u s (m, n)) \\ = s q r (m + n) \\ = {(m + n)}^{2} \end{array}

sqr の値域が plusの定義域に含まれないので、合成関数は定義されない。

問6.9

Zの任意の元x、 y に対して、

(f \circ g) (x) = (f \circ g) (y)

ならば、

f (g (x)) = f (g (y))

fは単射なので、

g (x) = g (y)

gは単射なので、

x = y

よって、合成関数

f \circ g

は単射である。